\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{geometry}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{multicol}
\usepackage{tcolorbox}

% Ustawienia marginesów
\geometry{margin=2cm}

% Stylizacja ramek teoretycznych
\newtcolorbox{teoria}[1]{
	colback=gray!5,
	colframe=blue!60!black,
	fonttitle=\bfseries,
	title=#1,
	arc=3mm
}

\begin{document}
	
	\begin{center}
		{\LARGE \bf Zestaw zadań: Wyznaczanie dziedziny funkcji} \\[0.2cm]
		{\large Poziom rozszerzony -- Funkcje wymierne, pierwiastkowe i logarytmiczne}
		\vspace{0.5cm}
	\end{center}
	
	\begin{teoria}{Przypomnienie teoretyczne (Warunki wyznaczania dziedziny)}
		Wyznaczając dziedzinę funkcji $f(x)$, musimy uwzględnić następujące obostrzenia matematyczne:
		\begin{enumerate}
			\item \textbf{Mianownik ułamka:} Jeśli we wzorze występuje $\frac{P(x)}{Q(x)}$, to $Q(x) \neq 0$.
			\item \textbf{Pierwiastek stopnia parzystego:} Jeśli występuje $\sqrt{P(x)}$, to $P(x) \ge 0$.
			\item \textbf{Logarytm:} Jeśli występuje $\log_{a(x)} b(x)$, to:
			\begin{itemize}
				\item argument logarytmu: $b(x) > 0$
				\item podstawa logarytmu: $a(x) > 0$ oraz $a(x) \neq 1$
			\end{itemize}
		\end{enumerate}
		W przypadku nałożenia kilku warunków jednocześnie, dziedziną funkcji jest \textbf{część wspólna (iloczyn zbiorów)} wszystkich otrzymanych warunków.
	\end{teoria}
	
	\vspace{0.5cm}
	
	% --- ZADANIE 1 ---
	\noindent {\bf Zadanie 1. (Funkcje wymierne i pierwiastkowe)} \\
	Wyznacz dziedzinę następujących funkcji. Pamiętaj o zapisaniu odpowiednich założeń.
	\begin{multicols}{2}
		\begin{enumerate}[label=\alph*)]
			\item $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 5x + 6}$
			\item $f(x) = \sqrt{16 - x^2}$
			\item $f(x) = \frac{2x}{\sqrt{x + 3}}$
			\item $f(x) = \sqrt{x^3 - 4x^2 - x + 4}$
			\item $f(x) = \frac{\sqrt{x+2}}{x^2 - 1}$
			\item $f(x) = \sqrt{\frac{x - 1}{x + 3}}$
		\end{enumerate}
	\end{multicols}
	
	\vspace{0.3cm}
	
	% --- ZADANIE 2 ---
	\noindent {\bf Zadanie 2. (Funkcje logarytmiczne -- stała podstawa)} \\
	Wyznacz dziedzinę funkcji logarytmicznej, rozwiązując odpowiednie równania lub nierówności.
	\begin{multicols}{2}
		\begin{enumerate}[label=\alph*)]
			\item $f(x) = \log_3(2x - 8)$
			\item $f(x) = \log_{0.5}(x^2 - 5x + 6)$
			\item $f(x) = \ln(4 - |x|)$
			\item $f(x) = \log_5\left(\frac{x+1}{x-3}\right)$
		\end{enumerate}
	\end{multicols}
	
	\vspace{0.3cm}
	
	% --- ZADANIE 3 ---
	\noindent {\bf Zadanie 3. (Funkcje logarytmiczne -- zmienna podstawa)} \\
	Uwzględnij warunki dla argumentu oraz dla podstawy logarytmu, aby wyznaczyć dziedzinę funkcji:
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $f(x) = \log_{x-2}(x^2 - 9)$
		\item $f(x) = \log_{2x-1}(x^2 - 5x + 4)$
		\item $f(x) = \log_{x+3}(|x| - 2)$
	\end{enumerate}
	
	\vspace{0.3cm}
	
	% --- ZADANIE 4 ---
	\noindent {\bf Zadanie 4. (Zadania hybrydowe / złożone)} \\
	Wyznacz dziedzinę funkcji określonej wzorem:
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $f(x) = \sqrt{\log_2(x - 3)}$
		\item $f(x) = \log_x(4 - x^2) + \frac{1}{\sqrt{x - 1}}$
		\item $f(x) = \sqrt{2 - \log_3(x + 1)}$
	\end{enumerate}
	
\end{document}